【河南成考专升本】数学1--函数的极值——重点

发布时间: 2019-12-31 16:36

考点三:函数的极值——重点

函数的极值包括极大值和极小值,是一个局部概念,一个函数可能有多个极大值和极小值。求函数的极值有两种方法:第一充分条件—— 一阶导数法和第二充分条件—— 二阶导数法。主要考查:求函数的极值点和极值。

1、第一充分条件—— 一阶导数法步骤

(1) 确定函数的定义域;

(2) 求可能的极值点:求其导数,解方程求出的全部驻点与不可导点;

(3) 讨论在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况,确定函数的极值点;

(4) 求出各极值点的函数值,就得到函数的全部极值.

典型例题:求出函数的极值.

解 

(1)

(2),令得驻点

(3)列表讨论如下:

(4)所以, 极大值极小值

 

【注】

(1)函数可能的极值点为驻点和不可导点(或不存在的点)。

(2)一阶导数法求极值就是利用单调性来判别极值,其步骤和判别单调性相似。

2、第二种充分条件——二阶导数法

第二充分条件其实就是利用二阶导数求函数的极值,可利用函数的凸凹性记忆。

设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f ¢(x0)=0, f ¢¢(x0)10, 那么

(1) 当f ¢¢(x0)<0时, 函数f(x)在x0处取得极大值; 

(2) 当f ¢¢(x0)>0时, 函数f(x)在x0处取得极小值; 

典型例题:求出函数的极值.

解  

令得驻点

又故极大值

故极小值

 

【注】时, 在点 处不一定取极值, 仍用第一充分条件进行判断.

 函数的不可导点, 也可能是函数的极值点.

 

考点四:函数的最大值和最小值(重点)

函数的最值是常考的知识点,主要包括:函数在给定闭区间上最大值和最小值的求法、实际问题中的最值问题。

1、函数在给定闭区间上最大值和最小值的求法: 

计算函数在一切可能极值点的函数值,并将它们与相比较,这些值中最大的就是最大值,最小的就是最小值;

(函数的最大值在极值点和端点取得)

典型例题:求在上的最大值与最小值.

解    解方程得

计算 

比较得最大值 最小值

 

2、实际问题中的最值问题

典型例题:设抛物线与轴的交点为,在他们所围成的平面区域内,以线段为下底做内接等腰梯形,设梯形的上底长为,面积为。

a)写出的表达式;

b)求的最大值。

解:

(1)先求交点,由,解得,所以交点的坐标分别为,,,所以:

(2),得到或(舍去);

由所给问题得实际意义知: 时,达到最大,最大值。

 

 

考点五:曲线的凹凸性的判别(凹凸区间和拐点)

确定曲线y=f(x)的凹凸区间和拐点的步骤: 

(1) 求函数的二阶导数;

(2) 令,解出全部实根,并求出所有使二阶导数不存在的点;

(3) 对步骤(2)中求出的每一个点,检查其邻近左、右两侧的符号,确定曲线的凹凸区间和拐点.

典型例题:求曲线y=3x 4-4x 3+1的拐点及凹、凸的区间. 

解: 

(1)函数y=3x 4-4x 3+1的定义域为(-¥, +¥); 

(2),; 

(3)解方程y¢¢=0, 得, ; 

(4)列表判断: 

 

在区间(-¥, 0]和[2/3, +¥)上曲线是凹的, 在区间[0, 2/3]上曲线是凸的. 点(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲线的拐点. 

往年真题:曲线的拐点坐标为_______。

解:,,

令y¢¢=0, 得.

因为当时, y¢¢>0; 当时, y¢¢<0, 所以点(0,-1)是曲线的拐点.

 

考点六:求曲线的渐近线(作为了解即可)

在某个变化过程中曲线逐渐靠近担永远不可能达到的那条直线。

1、水平渐近线: